符號函數sign的期望是多少

符號函數sign(x)是一個常見的數學函數，它的定義如下：

當x>0時，sign(x)=1；

當x=0時，sign(x)=0；

當x<0時，sign(x)=-1。

對于任意實數x，符號函數sign(x)的取值只有三種可能，即1、0、-1。因此，我們可以詢問：符號函數sign的期望是多少？

為了回答這個問題，我們需要計算符號函數sign(x)在整個實數軸上的積分。具體地說，我們可以將符號函數sign(x)表示為兩個階梯函數之差：

sign(x) = H(x) - H(-x)

其中，H(x)是一個階梯函數，它在x=0處躍升1個單位，其他位置上取值為0。因此，H(x)的圖像如下所示：

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0

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類似地，H(-x)也是一個階梯函數，它在x=0處躍降1個單位，其他位置上取值為0。因此，H(-x)的圖像如下所示：

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0

將這兩個函數相減，我們得到符號函數sign(x)的圖像：

1

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0

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-1

因此，符號函數sign(x)在整個實數軸上的積分可以表示為：

∫(-∞,∞) sign(x)dx = ∫(-∞,∞) H(x)dx - ∫(-∞,∞) H(-x)dx

根據積分的定義，我們可以將上式轉化為兩個積分的形式：

∫(-∞,∞) sign(x)dx = lim_ ∫(a,∞) H(x)dx - lim_ ∫(b,∞) H(-x)dx

其中，a和b是兩個正的小量，它們的作用是讓積分的下限從負無窮變?yōu)橛邢拗怠?/p>

現在，我們可以計算上式的兩個積分了。具體地說，我們有：

∫(a,∞) H(x)dx = ∫(0,∞) H(x)dx - ∫(0,a) H(x)dx

由于H(x)在整個實數軸上的積分等于1，所以上式的第一個積分為1。而第二個積分可以表示為a，因為H(x)在[0,a]上的取值為1，積分結果為a。因此，我們得到：

∫(a,∞) H(x)dx = 1 - a

類似地，我們有：

∫(b,∞) H(-x)dx = ∫(-∞,-b) H(-x)dx = b - 1

將上述結果代入符號函數sign(x)的積分式中，我們得到：

∫(-∞,∞) sign(x)dx = lim_ (1 - a) - lim_ (b - 1) = 1

因此，符號函數sign(x)的期望等于1。這意味著，如果我們隨機從符號函數sign(x)的取值中選擇一個數，那么它有1的概率等于1，有1的概率等于-1，而取值為0的概率為0。