多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則證明

多元復(fù)合函數(shù)是微積分中一個(gè)非常重要的概念，它描述了一種函數(shù)由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的情況。在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常需要對(duì)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，因此求導(dǎo)法則的證明就顯得尤為重要。本文將介紹多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并對(duì)其證明進(jìn)行詳細(xì)講解。

一、多元復(fù)合函數(shù)的定義

多元復(fù)合函數(shù)是指由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，如果$f(x)$和$g(x)$是兩個(gè)函數(shù)，那么它們的復(fù)合函數(shù)就是$f(g(x))$。如果再加上一個(gè)函數(shù)$h(x)$，那么就可以得到一個(gè)三元復(fù)合函數(shù)，即$f(g(h(x)))$。以此類推，如果有$n$個(gè)函數(shù)$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$，那么它們的$n$元復(fù)合函數(shù)就是$f_1(f_2(\cdots f_n(x) \cdots ))$。

二、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)，我們需要使用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)求導(dǎo)。鏈?zhǔn)椒▌t是指，如果一個(gè)函數(shù)$y=f(u)$依賴于另一個(gè)函數(shù)$u=g(x)$，那么它們的導(dǎo)數(shù)之間存在以下的關(guān)系：

$$\frac=\frac\cdot\frac$$

對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)，我們可以將其視為多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，然后依次使用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。具體來(lái)說(shuō)，如果$y=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)$是一個(gè)$n$元復(fù)合函數(shù)，其中每個(gè)$u_i$都是一個(gè)$m_i$元函數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)可以表示為：

$$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

其中，$\frac$表示$y$對(duì)$u_j$的偏導(dǎo)數(shù)，$\frac$表示$u_j$對(duì)$x_i$的偏導(dǎo)數(shù)。

三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則證明

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現(xiàn)在我們來(lái)證明多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。假設(shè)$y=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)$是一個(gè)$n$元復(fù)合函數(shù)，其中每個(gè)$u_i$都是一個(gè)$m_i$元函數(shù)。我們要求$\frac$，即$y$對(duì)$x_i$的偏導(dǎo)數(shù)。

首先，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，我們可以得到：

$$\frac=\frac\cdot\frac+\frac\cdot\frac+\cdots+\frac\cdot\frac$$

接下來(lái)，我們考慮$\frac$的求法。由于$u_j$是一個(gè)$m_j$元函數(shù)，我們可以將其表示為$u_j=u_j(x_1,x_2,\cdots,x_m)$。因此，$y$可以表示為：

$$y=f(u_1(x_1,x_2,\cdots,x_m),u_2(x_1,x_2,\cdots,x_m),\cdots,u_n(x_1,x_2,\cdots,x_m))$$

根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到：

$$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

其中，$\frac$表示$y$對(duì)$x_k$的偏導(dǎo)數(shù)，$\frac$表示$x_k$對(duì)$u_j$的偏導(dǎo)數(shù)。

現(xiàn)在我們來(lái)求$\frac$。由于$u_j$是一個(gè)$m_j$元函數(shù)，因此它的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為：

$$\frac=\lim_\frac$$

由于其他自變量$x_i(i\ne k)$不變，因此我們可以將$u_j(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x_m)$表示為$u_j(x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x_,u_j,x_,\cdots,x_m)$。因此，$\frac$可以表示為：

$$\frac=\frac{\frac}=\frac{\lim_\frac}$$

接下來(lái)，我們將$\frac$帶入原式中，得到：

$$\frac=\sum_^\sum_^\frac\cdot\frac\cdot\frac$$

由于$x_k$是一個(gè)自變量，因此$\frac$只有在$k=i$時(shí)才不為零。因此，我們可以將上式簡(jiǎn)化為：

$$\frac=\sum_^\frac\cdot\frac$$

這就是多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。